Question

已知椭圆

x2

2

+

y2

4

=1两焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足

PF1

•

PF2

=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求直线AB的斜率；
（3）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设出P的坐标，则可分别表示出

PF1

和

PF2

进而利用

PF1

•

PF2

=1求得x₀和y₀的关系，同时根据2x₀²+y₀²=4求得x₀和y₀即P的坐标．
（2）设出AP的方程，与椭圆方程联立根据x_P=1，表示出x_A和y_A，同理表示出点B的坐标，进而求得AB的斜率．
（3）设出AB的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而求得x₁-x₂，最后利用弦长公式求得AB的长．利用三角形面积公式求得答案．

解答：解：（1）F1(0，

2

)，F2(0，-

2

)，设P（x₀，y₀）
则

PF1

=(-x0，

2

-y0)，

PF2

=(-x0，-

2

-y0)

PF1

•

PF2

=1?x02-2+y02=1?x02+y02=3
又2x₀²+y₀²=4，x₀，y₀＞0，∴

x0=1 y0= 2

，即所求P(1，

2

)
（2）设l_AP：y-

2

=k(x-1)联立

y- 2 =k(x-1) 2x2+y2=4

得：(2+k2)x2-2k(k-2)x+k2-2

2

k-2=0
∵x_P=1，∴xA=

k2-2 2 k-2

2+k2

，yA=kxA-k+

2

=

- 2 k2-4k+2 2

2+k2

则A(

k2-2 2 k-2

2+k2

，

- 2 k2-4k+2 2

2+k2

)
同理B(

k2+2 2 k-2

2+k2

，

- 2 k2+4k+2 2

2+k2

)，
∴kAB=

8k 2+k2

4 2 k 2+k2

=

2

（3）设l_AB：y=

2

x+m，联立

y= 2 x+m 2x2+y2=4

，
得：4x2+2

2

mx+m2-4=0，∴

x1+x2=- 2 m 2 x1•x2= m2-4 4

∴|AB|=

3

|x1-x2|=

3

(x1+x2)2-4x1•x2

=

3

4- 1 2 m2

而h=

| 2 - 2 +m|

3

=

|m|

3

∴S=

1

2

|AB|•h=

1

2

3

4- 1 2 m2

•

|m|

3

=

2

4

m2(8-m2)

≤

2

4

•

m2+(8-m2)

2

=

2

当且仅当m=±2时等号成立．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．