Question

已知函数f(x)=

2-log2x(x≥2) x2+ax+2 x-2 (x＜2)

在点x=2处连续，则(x-

1

ax2

)6的展开式中常数项为

5

3

．

Answer 1

分析：由题意，函数在点x=2处连续即，在x=2两侧的函数值的极限相等，由此关系可判断出关于a的方程，求a，然后利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出展开式的通项．

解答：解：∵函数f（x）=

2-log2x(x≥2) x2+ax+2 x-2 (x＜2)

在点x=2处连续，函数值为2-log₂2=1，
∴可得出

x2+ax+2

x-2

=x-1，
即得x²+ax+2=（x-1）（x-2）=x²-3x+2，
解得a=-3
所以(x-

1

ax2

)6=(x+

1

3x2

)6，其展开式的通项为Tr+1=(

1

3

)r

C

r 6

x6-3r
令6-3r=0得到r=2
所以展开式中常数项为(

1

3

)2

C

2 6

=

5

3

故答案为

5

3

点评：本题考查函数的连续性，求解本题关键在于理解连续性的定义，以及考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．