Question

【题目】设点为抛物线上的动点，是抛物线的焦点，当时，．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作圆：的切线，，分别交抛物线于点．当时，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值．

【解析】

（1）利用抛物线的焦半径公式求得值，进而得到抛物线方程；

（2）设过点的切线为，利用圆心到直线的距离等于半径得到，化简并借助韦达定理，可得，，设，则直线，与抛物线联立，再由根与系数的关系可得，同理，再设直线，利用弦长公式求弦长，由点到直线距离公式求到直线的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式和二次函数求最小值.

（1）当时，，

所以，故所求抛物线方程为.

（2）点为抛物线上的动点，则，

设过点的切线为，

则，

得，

是方程（*）式的两个根，

所以，，

设，

因直线，与抛物线交于点A，

则得，

所以，即，

同理，

设直线，

则，

，

又，

，

所以

令，，

当且仅当，即时，取得最小值.