Question

【题目】已知实数满足，且.证明：存在整数，使得.

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

记.

构造下列51个数：，

，

.

下面证明中至少有一个在区间内.

由上述符号的含义，

知，

且.

所以.

（1）若，则由，得.

因此.

（2）若，假设都不在区间内，

则由，知.

结合假设，得.

又由，知.

所以中存在比小的数，也存在比大的数.

又，且都不在区间内.

因此，存在j∈{1，2，……，50}，使得.

此时，.

另一方面，，两者矛盾.

所以中至少有一个在区间内.

由（1）（2）知，中至少有一个在区间内.

由的定义知，结论成立

解法二：首先用数学归纳法证明

对于任意正整数n，若实数满足，

则存在的一个排列，

使得.

证明如下：（1）当n=1时，结论显然成立

（2）假设当n=k时，结论成立，

则当n=k+1时，由归纳假设知，存在的一个排列，

使得.

记，，

则.从而当时：

；

当时：

.

即当n=k+1时，结论也成立.

由（1）（2）知，对于任意正整数n，结论都成立.

回到本题，利用上述结论容易知道存在的一个排列满足，，

且.

又，

所以或.

因此结论成立.