Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到定点的距离，记点P的轨迹为，给出下列四个结论：①关于原点对称；②关于直线对称；③直线与有无数个公共点；④在第一象限内，与x轴和y轴所围成的封闭图形的面积小于.其中正确的结论是________.（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

由题意可得当xy≥0，可得xy+x+y﹣1＝0，当xy＜0时，﹣xy+x+y﹣1＝0，画出P的轨迹图形，由图形可得不关于原点对称，关于直线y＝x对称，且直线y＝1与曲线有无数个公共点；曲线在第一象限与坐标轴围成的封闭图形的面积小于边长为1的等腰三角形的面积，即可得到正确结论个数．

解：动点P（x，y）到两坐标轴的距离之和等于

它到定点A（1，1）的距离，

可得|x|+|y|，

平方化为|xy|+x+y﹣1＝0，

当xy≥0，可得xy+x+y﹣1＝0，

即y，即y＝﹣1，

当xy＜0时，﹣xy+x+y﹣1＝0，

即有（1﹣x）y＝1﹣x．

画出动点P的轨迹为图：

①Γ关于原点对称，不正确；

②Γ关于直线y＝x对称，正确；

③直线y＝1与Γ有无数个公共点，正确；

④在第一象限内，Γ与x轴和y轴所围成的封闭图形的面积小于，正确．

故答案为：②③④．