Question

【题目】如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下结论： ①直线A1B与B1C所成的角为60°；
②若M是线段AC1上的动点，则直线CM与平面BC1D所成角的正弦值的取值范围是 ；
③若P，Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体B1D1PQ的体积恒为 ．
其中，正确结论的个数是（ ）

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①在△A1BD中，每条边都是 ，即为等边三角形，∴A1B与A1D所成角为60°， 又B1C∥A1D，∴直线A1B与B1C所成的角为60°，正确；
②如图，由正方体可得平面BDC1⊥平面ACC1 ， 当M点位于AC1上，且使CM⊥平面BDC1时，直线CM与平面BDC1所成角的正弦值最大为1，
当M与C1重合时，连接CM交平面BDC1所得斜线最长，直线CM与平面BDC1所成角的正弦值最小等于 ，
∴直线CM与平面BDC1所成角的正弦值的取值范围是[ ，1]，正确；
③连接B1P，B1Q，设D1到平面B1AC的距离为h，则h= ，B1到直线AC的距离为 ，
则四面体PQB1D1的体积V= ，正确．
∴正确的命题是①②③．
故选：D

【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．