Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 ，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意 ∴b=1，∴所求椭圆方程为 ． （Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
①当AB⊥x轴时， ．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知 ，得 ．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
∴ ， ．
∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2
=
=
=
=
= ．
当且仅当 ，即 时等号成立．当k=0时， ，
综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值
【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．（1）当AB⊥x轴时， ．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知 ，得 ．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．