Question

【题目】(2016·桂林高二检测)如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是________.

(1)A′C⊥BD.(2)∠BA′C=90°.

(3)CA′与平面A′BD所成的角为30°.

(4)四面体A′-BCD的体积为.

Answer 1

【答案】(2)(4)

【解析】若A′C⊥BD，又BD⊥CD，

则BD⊥平面A′CD，则BD⊥A′D，显然不可能，故(1)错误.

因为BA′⊥A′D，BA′⊥CD，故BA′⊥平面A′CD，

所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C=90°，故(2)正确.

因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，

所以CD⊥平面A′BD，CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D，

因为A′D=CD，

所以∠CA′D=，故(3)错误.

四面体A′-BCD的体积为V=S△BDA′·h=××1=，

因为AB=AD=1，DB=，

所以A′C⊥BD，综上(2)(4)成立.

点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.