Question

【题目】已知数列{bn}是首项b1=1，b4=10的等差数列，设bn+2=3log an（n∈n*）．
（1）求证：{an}是等比数列；
（2）记cn= ，求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）记dn=（3n+1）Sn ， 若对任意正整数n，不等式 + +…+ ＞ 恒成立，求整数m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：b1=1，b4=10，可得

公差d= =3，bn=1+3（n﹣1）=3n﹣2；

bn+2=3log an=3n，

则an=（ ）n，

由 = ，

可得数列{an}是首项为 ，公比为 的等比数列；

（2）解：cn= = = （ ﹣ ），

则前n项和Sn= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （1﹣ ）= ；

（3）解：dn=（3n+1）Sn=（3n+1） =n．

则问题转化为对任意正整数n使

不等式 + +…+ ＞ 恒成立．

设 ，

则f（n+1）﹣f（n）=[ + +…+ ]﹣（ + +…+ ）

= + ﹣ = ＞0

所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值是f（1）= ，

由 ＜ 恒成立，即m＜12，

知整数m可取最大值为11．

【解析】（1）运用等差数列的通项公式，可得公差d=3，进而得到bn=3n﹣2，再由对数的运算性质和等比数列的定义，即可得证；（2）求得cn= = = （ ﹣ ），再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和；（3）求得dn=（3n+1）Sn=（3n+1） =n．设 ，判断为单调递增，求得最小值f（1），再由恒成立思想可得m的范围，进而得到最大值．