Question

（本小题满分14分）

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为，经过其左焦点的直线交椭圆于、两点.

（I）求椭圆的方程；

（II）在轴上是否存在一点，使得恒为常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（I）设椭圆的方程为.

由题意，得，解得，所以.   …………………………3分

所求的椭圆方程为.      …………………………………………………4分

（II）由（I）知.

假设在轴上存在一点，使得恒为常数.  

①当直线与轴不垂直时，设其方程为，、.

由得.   ……………………………6分

所以，.      ………………………………………7分

        

       .

因为是与无关的常数，从而有，即.      ……………10分

此时.   ……………………………………………………………………11分

②当直线与轴垂直时，此时点、的坐标分别为，

当时，亦有.    ………………………………………………13分

综上，在轴上存在定点，使得恒为常数，且这个常数为.

                            …………………………………………………………14分