Question

【题目】已知椭圆过点，焦距长，过点的直线交椭圆于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）在轴上是否存在一点，使得为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在点符合题意

【解析】

(1)首先可通过焦距为计算出的值，再将点代入椭圆方程中即可计算出的值，最后得出椭圆的方程；

(2)首先可设点存在，然后设出直线的方程以及、两点坐标，然后联立直线方程与椭圆方程得出的值，然后对进行化简，最后即可求出点的坐标以及定值。

(1)由焦距为可以得出，

然后将代入方程可得，，

故椭圆方程为；

(2)假设存在点，使为定值，

若直线的斜率不为0时，设直线：交椭圆于，，

由可得：，，，

，，

，

要使上式为定值，则，即，此时

而当点为，且直线的斜率为0时，，，

，

故在轴上存在点，使得为定值，且等于。