Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点（均异于点），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

（1）利用椭圆的定义求得，根据焦点求得，结合求得，由此得到椭圆的标准方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出判别式及韦达定理，利用列出方程，并由此化简直线方程，得到直线所过定点.当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性，证得直线过定点.

（1）设椭圆的标准方程为

，

∴

∴

∴

所以，椭圆的标准方程为.

（2）①直线斜率存在，设直线：，，，联立方程

消去得，

，，

，

又 ，

由得，

即，，∴，

∴，

∴.解得：

，，且均满足，

当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，直线的方程为，直线过定点.

②由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为，，易得直线：，

：，直线，分别与椭圆交于点，，此时直线斜率不存在，

也过定点

综上所述，直线恒过定点