Question

【题目】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；

(Ⅱ) ；

(Ⅲ)见解析.

【解析】

(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；

(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.

(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，

由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，

由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.

(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易知：，

由可得点F的坐标为，

由可得，

设平面AEF的法向量为：，则

，

据此可得平面AEF的一个法向量为：，

很明显平面AEP的一个法向量为，

，

二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.

(Ⅲ)易知，由可得，

则，

注意到平面AEF的一个法向量为：，

其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.