Question

【题目】已知函数，（，，为常数，为自然对数的底数）.

（1）当时，讨论函数在区间上极值点的个数；

（2）当，时，对任意的都有成立，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）当时，，记，利用导数研究在函数值的情况，将在区间上极值点的个数转化为根的个数问题，分类讨论即可得到；

（2）当，时，对任意的都有，即，即，记，，利用导数分别研究的最值，即可得到答案.

（1）当时，，记，

则，

当时，，时，，

所以当时，取得极小值，又，，，

当，即时，，函数在区间上无极值点；

当即时，有两不同解，

函数在区间上有两个极值点；

当即时，有一解，

函数在区间上有一个极值点；

当即时，，函数在区间上无极值点.

（2）当，时，对任意的都有，

即，即

记，，

由，当时，当时，，

所以当时，取得最大值，最大值为，

又，当时，，当时，，

所以当时，取得最小值，所以只需要，即正实数的取值范围是.