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    【题目】祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第位，也就是和之间，这一成就比欧洲早了多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）

    A.B.C.D.

    【答案】B

    【解析】

    先求出正四面体的体积与内切球的体积，设落在球内的玻璃球数量为，由几何概型的概率计算公式，得到即可解决.

    由三视图知，该模型是一个棱长为的正四面体及其内切球，

    正四面体体积，

    过球心及正四面体顶点作截面，如图所示，

    易知，所以，即，解得

    所以内切球体积，

    设落在球内的玻璃球数量为，则，即

    近似计算得.

    故选：B.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】下列说法：

    ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；

    ②设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；

    ③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；

    ④在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．

    以上错误结论的个数为(　　)

    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）：

    消费金额（单位：百元）

    频数

    由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望；

    市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.

    ①设棋子移到第格的概率为，求证：当时，是等比数列；

    ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.

    参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某机构对某市工薪阶层的收入情况与超前消费行为进行调查，随机抽查了200人，将他们的月收入（单位：百元）频数分布及超前消费的认同人数整理得到如下表格：

    月收入（百元）

    频数

    20

    40

    60

    40

    20

    20

    认同超前消费的人数

    8

    16

    28

    21

    13

    16

    （1）根据以上统计数据填写下面列联表，并回答是否有99%的把握认为当月收入以8000元为分界点时，该市的工薪阶层对“超前消费”的态度有差异；

    月收入不低于8000元

    月收入低于8000元

    总计

    认同

    不认同

    总计

    （2）若从月收入在的被调查对象中随机选取2人进行调查，求至少有1个人不认同“超前消费”的概率.

    参考公式：（其中）.

    附表：

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：.

    （1）求直线和曲线的直角坐标方程；

    （2），直线和曲线交于、两点，求的值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知动圆过定点，且圆心到直线的距离比大.

    （1）求动圆圆心的轨迹的方程；

    （2）已知轨迹与直线相交于两点.试问，在轴上是否存在一个定点使得是一个定值？如果存在，求出定点的坐标和这个定值；如果不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：

    （1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；

    （2）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和数学期望；

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设函数，.

    （1）讨论在上的单调性；

    （2）当时，若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围..

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】若养殖场每个月生猪的死亡率不超过，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：

    月份

    1月

    2月

    3月

    4月

    5月

    6月

    7月

    8月

    月养殖量/千只3

    3

    4

    5

    6

    7

    9

    10

    12

    月利润/十万元

    3.6

    4.1

    4.4

    5.2

    6.2

    7.5

    7.9

    9.1

    生猪死亡数/只

    29

    37

    49

    53

    77

    98

    126

    145

    （1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；

    （2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.

    （3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？

    附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，

    参考数据：.

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