Question

【题目】已知函数．

（I）求的单调区间；

（II）讨论在上的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题（1）先求导数，再根据a的正负确定导函数零点，根据零点情况确定导函数符号，最后根据导函数符号确定单调区间，（2）先分离：再利用导数研究单调性，根据单调性确定函数值域，结合图像确定零点个数与a的关系.

试题解析：（I），

若，则恒成立，

所以的单调递增区间为，无单调递减区间.

若，令得，令得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

（II）令得，又，所以 .

因为，所以，可知，若，则无零点；

若，令，，

当时，当时,

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

又因为当且时，，当时，，

所以，若，则有1个零点，

若，则有2个零点；若，则没有零点．

综上所述，当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点．