Question

【题目】如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．
（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）判断点M的位置，使得三棱锥B﹣CDM的体积为 ．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵DC=BC=1，DC⊥BC，
∴BD=，
∵AD=，AB=2，
∴AD2+BD2=AB2 ，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，
∴BD⊥ED，
∵AD∩DE=D，
∴BD⊥平面ADEF，
∵BD平面BDM，
∴平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）解：如图，在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，则MN∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD，
∵VB﹣CDM=VM﹣CDB=，
∴XX1X1XMN=，
∴MN=，
∴=，
∴CM=CE，
∴点M在线段CE的三等分点且靠近C处．

【解析】（Ⅰ）证明：ED⊥平面ABCD，BD⊥平面ADEF，即可证明平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，则MN∥ED，利用三棱锥的体积计算公式求出MN，可得结论。