Question

设a₁，a₂，…，a_n（n≥4）是各项均不为零的等差数列，且公差d≠0．设α（n）是将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）为等比数列的最大的n值，则α（n）=（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

分析：先看当n=4时，将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列．如果删去a₁，或a₄，则等于有3个项既是等差又是等比．可以证明在公差不等于零的情况下不成立，进而推断删去的是a₂，或a₃．如果删去的是a₂，根据等差数列的通项公式代入a₁：a₃=a₃：a₄，求得

a1

d

=-4．同理如果如果删去的是a₃，求得

a1

d

=1，再看当n=5时，由（1）知道，a₁．a₅不能删．如果删去a₂，则a₃，a₄，a₅既是等差又是等比，不成立．同样a₄不能删．如果删去a₃，根据等差数列通项公式和a₁：a₂=a₄：a₅，代入发现不成立，进而推断n＞5时也不成立，进而推断n只能是4．

解答：解：（1）当n=4时
有a₁，a₂，a₃，a₄．
将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列．
如果删去a₁，或a₄，则等于有3个项既是等差又是等比．
可以证明在公差不等于零的情况下不成立
（a-d）：a=a：（a+d）
a²=a²-d²
所以d=0
可以知道删去的是a₂，或a₃．
如果删去的是a₂，
a₁：a₃=a₃：a₄
a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²
3a₁d=4a₁d+4d²
4d²+a₁*d=0
4d+a₁=0

a1

d

=-4．
如果删去的是a₃，
a₁：a₂=a₂：a₄
a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²
3a₁d=2a₁d+d²
a₁d=d²
a₁=d

a1

d

=1．
可得

a1

d

=-4或1．
（2）n=5时，由（1）知道，a₁．a₅不能删．
如果删去a₂，
则a₃，a₄，a₅既是等差又是等比，不成立．
同样a₄不能删．
如果删去a₃，
a₁：a₂=a₄：a₅
a₁a₅=a₂a₄
（a₃-2d）（a₃+2d）=（a₃-d）（a₃+d）
a₃²-4d²=a₃²-d²
不成立．
所以n只能为4．
故选A

点评：本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．属中档题．