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    【题目】有一个底面半径为3，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a的最大值为________.

    【答案】

    【解析】

    先求圆锥内切球半径，再根据a取最大值时，四面体外接球恰为圆锥内切球，解得结果.

    依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设圆心为P，球的半径为r，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示：

    则，由于为等边三角形，因此P为的中心，

    连接BP，则BP平分，

    因为a取最大值时，四面体外接球恰为圆锥内切球，

    由于四面体可以从正方形中截得，如图，当正四面体的棱长为a时，截的它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正方体的外接球就是正方形的外接球，所以

    故答案为：

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    （1）已知抽取的名学生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人数；

    （2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生讲行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

    性别

    选择物理

    选择历史

    总计

    男生

    50

    女生

    30

    总计

    （3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.

    参考公式：，其中.

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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