Question

（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝log_a(1＋x)，g(x)＝log_a(1－x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．

(1)求函数h(x)的定义域；

(2)判断h(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)若f(3)＝2，求使h(x)>0成立的x的集合．

 

Answer 1

【答案】

(1) (－1,1)．(2) h(x)是奇函数．(3) {x|0<x<1}．

【解析】(1)求f(x)和g(x)的定义域的交集即为h(x)的定义域.

（２）因为h(-x)=-h(x),所以h(x)为奇函数.

（３）由f(3)＝2，得a＝2. h(x)>0即log₂(1＋x)－log₂(1－x)>0，即log₂(1＋x)>log₂(1－x)，利用对数函数的单调性可转化为1+x>1-x>0，解此不等式即可.

(1)由对数的意义，分别得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.

∴函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，函数g(x)的定义域为(－∞，1)，

∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．

(2)∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，

h(－x)＝f(－x)－g(－x)

＝log_a(1－x)－log_a(1＋x)

＝g(x)－f(x)＝－h(x)，

∴h(x)是奇函数．

(3)由f(3)＝2，得a＝2.

此时h(x)＝log₂(1＋x)－log₂(1－x)，

由h(x)>0即log₂(1＋x)－log₂(1－x)>0，

∴log₂(1＋x)>log₂(1－x)．

由1＋x>1－x>0，解得0<x<1.

故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}．