Question

如图，某生态园欲把一块四边形地BCED辟为水果园，其中∠C=∠D=90°，BC=BD=

3

，CE=DE=1．若经过DB上一点P和EC上一点Q铺设一条道路PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP=x，EQ=y．
（1）求x，y的关系式；
（2）如果PQ是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，求PQ的长的最小值；
（3）如果PQ是参观路线，希望它最长，那么P、Q的位置在哪里？

Answer 1

分析：（1）延长BD、CE交于A，利用S_△ADE=S_△BDE=S_△BCE=

3

2

，S_△APQ=

3

即可建立x，y的关系式；
（2）利用余弦定理表示出PQ，再借助于基本不等式，即可求出水管PQ的长的最小值；
（3）根据（2）中的解析式，利用换元法，将PQ²表示成PQ2=f(t)=t+

48

t

-12，利用导数，确定函数的单调性，从而得到函数的最大值．

解答：解：（1）延长BD、CE交于点A，
设AD=a，在Rt△ABC中，BC=

3

，AB=

3

+a，则AC=

( 3 +a)2- 3 2

=

2 3 a+a2

，
∵△ADE∽△ACB，且DE=1，
∴

AD

AC

=

DE

BC

，即

a

2 3 a+a2

=

1

3

，
解得a=

3

，即AD=

3

，
在Rt△ADE中，AE=

AD2+DE2

=

3 2+12

=2，
∴S△ADE=

1

2

×AD×DE=

3

2

，S△BDE=

1

2

×BD×DE=

3

2

，S△BCE=

1

2

×BC×CE=

3

2

，
∵S_BCED=S_△BDE+S_△BCE=2×

3

2

=

3

，
∵PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，
∴S△APQ=

1

2

SBCED+S_△ADE=

3

，
∴

1

4

(x+

3

)(y+2)=

3

，
∴(x+

3

)(y+2)=4

3

，
∴x，y的关系式为(x+

3

)(y+2)=4

3

；
（2）在△APQ中，由余弦定理可得，PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQcos30°=(x+

3

)2+(

4 3

x+ 3

)2-2×4

3

×

3

2

≥2

(x+ 3 )2• (4 3 )2 (x+ 3 )2

-2×4

3

×

3

2

=8

3

-12，
当且仅当(x+

3

)2=(

4 3

x+ 3

)2，即x=2

4	3

-

3

时取等号，
∴PQmin=

8 3 -12

=2

2 3 -3

，
∴PQ的长的最小值为2

2 3 -3

；
（3）由（2）可知，PQ²=(x+

3

)2+(

4 3

x+ 3

)2-2×4

3

×

3

2

，
令t=(x+

3

)2，
∵x∈[

3

3

，

3

]，
∴t∈[

16

3

，12]，
∴PQ2=f(t)=t+

48

t

-12，
∵f′(t)=1-

48

t2

，令f′(t)=1-

48

t2

=0，解得t=4

3

，
∵当t∈(0，4

3

)时，f′（t）＜0，则f（t）在(0，4

3

)上是减函数，
当t∈(4

3

，+∞)时，f′（t）＞0，则f（t）在(4

3

，+∞)上是增函数，
∴f(t)max=max{f(

16

3

)，f(12)}=f(12)=4，
∴PQ_max=2，
∵t=(x+

3

)2=12，
∴x=

3

，
∵(x+

3

)(y+2)=4

3

，
∴y=0，
∴P点在B处，Q点在E处．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，余弦定理的应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题中的数学模型求最值，应用了基本不等式求最值和导数求最值．属于中档题．