Question

【题目】已知.

（1）讨论的单调性；

（2）当时, 证明对于任意的成立.

Answer 1

【答案】（1）当时,在内单调递增,在内单调递减, 当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,当时,在内单调递增, 当时,在内单调递增,在内单调递减, 在单调递增；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求出原函数的导函数，然后对分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；

（2）构造函数，令，．则

，利用导数分别求与的最小值得到恒成立．由此可得对于任意的成立．

试题解析：（1）的定义域为,当时, 时, 单调递增, 时, 单调递减, 当时,.

①时,, 当或时, 单调递增, 当时, 单调递减.

②时,, 在内, 单调递增.

③当时,, 当或时, 单调递增, 当时, 单调递减.

综上所述, 当时, 在内单调递增, 在内单调递减, 当时, 在内单调递增, 在内单调递减, 在内单调递增, 当时, 在内单调递增, 当时, 在内单调递增, 在内单调递减, 在单调递增.

（2）证明: 由（1）知时,

,

设,则,

由,可得,当且仅当时取得等号, 又,

设,则在单调递减, 因为,

使得时, 时, 在内单调递增, 在内单调递减, 由,可得,当且仅当时取得等号, 所以,即对于任意的成立.