已知
为函数
图象上一点，
为坐标原点，记直线
的斜率
．
(Ⅰ)若函数
在区间
上存在极值，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）如果对任意的
，
，有
，求实数
的取值范围．
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝
＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽
为2米,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为
，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．
（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？
（Ⅲ）现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
，
.
（1）若
，则
，
满足什么条件时，曲线
与
在
处总有相同的切线？
（2）当
时，求函数
的单调减区间；
（3）当
时，若
对任意的
恒成立，求的取值的集合.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
（
为常数），其图象是曲线
．
（1）当
时，求函数
的单调减区间；
（2）设函数的导函数为
，若存在唯一的实数
，使得
与
同时成立，求实数
的取值范围；
（3）已知点
为曲线上的动点，在点处作曲线的切线
与曲线交于另一点
，在点处作曲线的切线
，设切线
的斜率分别为
．问：是否存在常数
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
.
（1）当
时，求函数
在
上的最大值；
（2）令
，若
在区间
上不单调，求
的取值范围；
（3）当时，函数
的图象与
轴交于两点
，且
，又
是
的导函数.若正常数
满足条件
.证明：
.
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（Ⅱ）
.
在
上单调递减，不妨设
，
函数
在
的单调性.
，
，所以
2分
时，
；当
时，
．所以
在
上单调递增，在
上单调递减，故
处取得极大值． 3分
，得
．
，则
在
上恒成立，所以
在
是曲线
的一条切线，
.
的值；
时，存在
，求实数
的取值范围.
函数.
单调递增区间；
时，求函数
．
在区间
上单调递减；
对任意的
都成立，（其中
是自然对数的底数），求实数
的最大值．