Question

【题目】已知离心率为的椭圆焦点在轴上，且椭圆个顶点构成的四边形面积为，过点的直线与椭圆相交于不同的两点、.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上一点，且（为坐标原点）.求当时，实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）由离心率率与面积，可求得。（2）由（1）椭圆方程为，设直线的方程为，由直线椭圆方程组方程组，再由判别式， ，这两个不等式可求得参数k的范围，再由的坐标表示及点P在椭圆上，可求得与k的有关系，通过k的范围求出的范围。

试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意可知，得， ；

又顶点构成四边形的是菱形，面积，所以， ，椭圆方程为.

（2）设直线的方程为或， ， ， ，

当的方程为时， ，与题意不符.

当的方程为时，由题设可得、的坐标是方程组的解.

消去得，所以，即，

则， ， ，

因为 ，所以 ，

解得，所以.

因为，即，

所以当时，由，得， ，

上述方程无解，所以此时符合条件的直线不存在：

当时， ， ，

因为点在椭圆上，所以，

化简得，因为，所以，则.

综上，实数的取值范围为.