Question

如图,正三角形ABC的边长为3,过其中心G作BC边的平行线,分别交AB、AC于B₁、C₁.将△AB₁C₁沿B₁C₁折起到△A₁B₁C₁的位置,使点A₁在平面BB₁C₁C上的射影恰是线段BC的中点M.求:

(1)二面角A₁B₁C₁M的大小;

(2)异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小(用反三角函数表示).

Answer 1

解析:(1)连结AM、A₁G.

∵G是正三角形ABC的中心,且M为BC的中点,

∴A、G、M三点共线,AM⊥BC.

∵B₁C₁∥BC,∴B₁C₁⊥AM于G,

即GM⊥B₁C₁,GA₁⊥B₁C₁.

∴∠A₁GM是二面角A₁-B₁C₁-M的平面角.

∵点A₁在平面BB₁C₁C上的射影为M,

∴A₁M⊥MG,即∠A₁MG=90°.

在Rt△A₁GM中,由A₁G=AG=2GM得∠A₁GM=60°,

即二面角A₁B₁C₁M的大小是60°.

(2)过B₁作C₁C的平行线交BC于P,则∠A₁B₁P等于异面直线A₁B₁与CC₁所成的角.

由PB₁C₁C是平行四边形得

B₁P=C₁C=1=BP,

PM=BM-BP=,A₁B₁=AB₁=2.

∵A₁M⊥面BB₁C₁C于M,

∴A₁M⊥BC,∠A₁MP=90°.

在Rt△A₁GM中,A₁M=A₁Gsin60°=.

在Rt△A₁MP中,A₁P²=A₁M²+PM²=.

在△A₁B₁P中,由余弦定理得cos∠A₁B₁P=,

∴异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小为arccos.

小结：求二面角、异面直线所成的角一般是先作出二面角的平面角、异面直线所成的角(平面角),然后通过解三角形可得要求的角.