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已知f(x)=x2-x+k,若log2f(2)=2,
(1)确定k的值;
(2)求f(x)+
9f(x)
的最小值及对应的x值.
分析:(1)把对数式化为指数式即可求得f(2)的值,再根据f(x)的表达式即可求出k的值;
(2)由f(x)的解析式可知f(x)>0,再使用基本不等式,即可求得最小值,同时求得取得最小值时的f(x)的值,进而解得x的值.
解答:解:(1)∵log2f(2)=2,∴f(2)=4,∴4-2+k=4,∴k=2.
(2)根据(1)可知f(x)=x2-x+2=(x-
1
2
)2+
7
4

f(x)+
1
f(x)
≥2
9
=6

当且仅当f(x)=3时,即x2-x+2=3时,解得x=
5
2
时,f(x)+
9
f(x)
取到最小值6.
点评:正确理解对数的运算法则、二次函数的单调性及基本不等式是解题的关键.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=x2+ax+b(a,b∈R的定义域为[-1,1].
(1)记|f(x)|的最大值为M,求证:M≥
1
2
.
(2)求出(1)中的M=
1
2
时,f(x)
的表达式.

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已知f(x)=x2+x+1,则f(
2
)
=
 
;f[f(
2
)
]=
 

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已知f(x)=x2+2x,数列{an}满足a1=3,an+1=f′(an)-n-1,数列{bn}满足b1=2,bn+1=f(bn).
(1)求证:数列{an-n}为等比数列;
(2)令cn=
1
an-n-1
,求证:c2+c3+…+cn
2
3

(3)求证:
1
3
1
1+b1
+
1
1+b2
+…+
1
1+bn
1
2

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已知f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a≠-2,a∈R),
(Ⅰ)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和,求g(x)和h(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)和g(x)在区间(-∞,(a+1)2]上都是减函数,求a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,比较f(1)和
16
的大小.

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