Question

已知f（x）=x²+ax+b（a，b∈R的定义域为[-1，1]．
（1）记|f(x)|的最大值为M，求证：M≥

1

2

.（2）求出（1）中的M=

1

2

时，f(x)的表达式．

Answer 1

分析：（1）利用|f（x）|的最大值为M，绝对值不等式|a-b|+|a+b|≥|2a|推出M≥

1

2

．
（2）利用（1）的条件和结论对-b，1+a+b，1-a+b讨论，求出求出a、b的值，确定f（x）的表达式．

解答：解：（1）f（x）=x²+ax+b
M≥|f（0）|=|b|
M≥|f（1）|=|1+a+b|
M≥|f（-1）|=|1-a+b|
4M≥2|b|+|1+a+b|+|1-a+b|≥|（-2b）+（1+a+b）+（1-a+b）|=2
M≥

1

2

[-b，1+a+b，1-a+b同号时取等号]
（2）I．若-b，1+a+b，1-a+b均≥0，M=

1

2

，则：
1+a+b≤

1

2

…①
1-a+b≤

1

2

…②
-b≤

1

2

…③
①+②：2+2b≤1，b≤-

1

2

③：b≥-

1

2

∴b=-

1

2

代回①：a≤0，②：a≥0
∴a=0
f（x）=x²-

1

2

II．若-b，1+a+b，1-a+b均＜0，M=

1

2

，则：
0＞1+a+b≥-

1

2

…①
0＞1-a+b≥-

1

2

…②
0＞-b≥-

1

2

…③
①+③：0＞1+a≥-1，-2≤a＜-1
②+③：0＞1-a≥-1，1＜a≤2
无解
综上：f（x）=x²-

1

2

点评：本题考查一元二次不等式的应用，绝对值不等式的证明，分类讨论思想，是中档题．