Question

已知f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a≠-2，a∈R），
（Ⅰ）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）和g（x）在区间（-∞，（a+1）²]上都是减函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，比较f(1)和

1

6

的大小．

Answer 1

分析：（I）根据题意可知f（x）=g（x）+h（x），再根据奇偶性求出f（-x），从而建立方程组，解之即可求出g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）先对函数f（x）进行配方求出对称轴，利用f（x）在区间（-∞，（a+1）²]上是减函数，建立关系式可求出a的范围，然后根据函数g（x）=（a+1）x是区间（-∞，（a+1）²]上减函数，建立关系求出a的范围，从而可得结论；
（Ⅲ）表示出f（1），确定相应函数的单调性，可得结论．

解答：解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
∴f（-x）=-g（x）+h（x）
∴g（x）+h（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|，-g（x）+h（x）=x²-（a+1）x+lg|a+2|，
∴g（x）=（a+1）x，h（x）=x²+lg|a+2|；
（Ⅱ）由函数g（x）=（a+1）x在（-∞，（a+1）²]上是减函数，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|=（x+

a+1

2

）2-

(a+1)2

4

+lg|a+2|在区间（-∞，（a+1）²]上是减函数，
∴（a+1）2≤-

a+1

2

，解得-

3

2

≤a≤-1
∵f（x）和g（x）在区间（-∞，（a+1）²]上都是减函数，
∴-

3

2

≤a＜-1；
（Ⅲ）f（1）=1+（a+1）+lg|a+2|=a+2+lg|a+2|（-

3

2

≤a＜-1）
F（a）=a+2+lg|a+2|在[-

3

2

，-1）上是增函数
∴f（1）≥=-

3

2

+2+lg|-

3

2

+2|=

1

2

+lg

1

2

＞

1

6

．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查函数的单调性，考查大小比较，正确运用函数的单调性是关键．