Question

如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移至C′点,且C′在平面ABD上的射影恰好在AB上.

(1)求证:BC′⊥平面ADC′;

(2)求点A到平面BC′D的距离;

(3)设直线AB与平面BC′D所成的角为θ,求(用反正切表示).

Answer 1

(1)证明:设C′在平面ABD上的射影为O,则O在AB上,且C′O⊥平面ABD,

∴BO是BC′在平面ABD上的射影.

∵ABCD为矩形,

∴AB⊥AD,

即BO⊥AD.

∴BC′⊥AD.

又BC′⊥C′D,

∴BC′⊥平面ADC′.

(2)解析:设点A到底面BC′D的距离为h,

则S_△BC′Dh=V_A—BC′D=V_C′—ABD=S_△ABD·C′O.

∵S_△BC′D=S_△ABD,∴h=C′O.

∵BC′⊥平面ADC′,

∴BC′⊥AC′.

在Rt△ABC′中,

AC′=.

∴C′O=.

∴h=,

即点A到平面BC′D的距离为.

(3)解析:作AE⊥C′D于E,

∵BC′⊥平面ADC′,∴AE⊥BC′.

∴AE⊥平面BC′D.

连结BE,则∠ABE是AB与平面BC′D所成的角,

即∠ABE=θ,此时AE=h=.

在Rt△ABE中,

sinθ=,

cosθ=.

∴tan=.

∴=arctan.