Question

【题目】如图，在正方形ABCD的一边CD内任取一点E，过E作对角线AC的平行线，交对角线BD于点G、交边AD于点H、交边BA的延长线于点F，联结BH交DF于点M．求证：

（1）C、G、M三点共线；

（2）C、E、M、F四点共圆．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由已知有，．于是，．

又，则H是的垂心．

故通过H的BM也是三角形的高线，得．

进而，M、A、B、C、D五点共圆（或说点M在正方形ABCD的外接圆上）．

如下图．联结CM、CC．则CM、CG在CD的同侧，有．①

又由H是的垂心，有M、F、B、G的四点共圆．于是，．②

由式①、②有．

于是，CM与CG重合．

因此，C、G、AM三点共线．

（2）由（1）知M、F、B、G四点共圆及M、A、B、C、D五点共圆，得．

于是，C、E、M、F四点共圆．

【注】当点E沿方向运动到线段CD之外时，结论仍成立（可用坐标法统一证明）．