Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为,,离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）过 的直线与椭圆交于不同的两点,,则的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）的面积取得最大值3, .

【解析】

（1）利用待定系数法结合题意求解椭圆方程即可；

（2）很明显直线的斜率不为零，设出直线方程的x轴截距形式，得到面积函数，结合函数的性质确定面积最大时的直线方程即可.

（1）设椭圆：

因为， 所以

即椭圆： .

（2）设，不妨设

由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，

则 ，

∴，

令，可知则，

∴

令，则，

当时，，即在区间上单调递增，

∴，∴，

即当时，的面积取得最大值3，

此时直线的方程为．