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    【题目】已知椭圆的离心率为，且过点．

    （1）求椭圆的方程；

    （2）过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且直线与的斜率互为相反数，直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线的斜率为，直线的斜率为.证明： 为定值．

    【答案】（1）；（2）定值为

    【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为,且过点，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得结果；（Ⅱ）设,联立,消去得,,利用斜率公式以及韦达定理，化简可得则，所以为定值.

    试题解析：（Ⅰ）由题可得,解得.

    所以椭圆的方程为.

    （Ⅱ）由题知直线斜率存在,设.

    联立,消去,

    由题易知恒成立,由韦达定理得,

    因为与斜率相反且过原点,

    设, ,

    联立,

    消去得,

    由题易知恒成立,

    由韦达定理得,

    则

    ，所以为定值.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形.

    （1）点为棱上一点，若平面，，求实数的值；

    （2）求点B到平面SAD的距离.

    【答案】（1）；（2）

    【解析】试题分析：（1）由平面，可证，进而证得四边形为平行四边形，根据，可得；

    （2）利用等体积法可求点到平面的距离.

    试题解析：（（1）因为平面SDM，

    平面ABCD，

    平面SDM 平面ABCD=DM，

    所以，

    因为，所以四边形BCDM为平行四边形，又，所以M为AB的中点.

    因为，

    .

    （2）因为 ， ，

    所以平面，

    又因为平面，

    所以平面平面，

    平面平面，

    在平面内过点作直线于点，则平面，

    在和中，

    因为，所以，

    又由题知，

    所以，

    由已知求得，所以，

    连接BD，则，

    又求得的面积为，

    所以由点B 到平面的距离为.

    【题型】解答题
    【结束】
    19

    【题目】小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.

    （1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；

    （2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：

    日均派送单数

    52

    54

    56

    58

    60

    频数（天）

    20

    30

    20

    20

    10

    回答下列问题：

    ①根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪平均数及方差；

    ②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.

    （参考数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知等比数列的公比，前项和为，且满足.，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.

    （1）求数列的通项公式；

    （2）设，求数列的前项和；

    （3）若，的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数，曲线在处的切线经过点.

    （1）证明： ；

    （2）若当时， ，求的取值范围.

    【答案】(1)证明见解析；(2) .

    【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率为，再根据切线过点，解得导数可得导函数零点，列表分析导函数符号变号规律可得函数单调性，根据函数单调性可得函数最小值为0，即得结论，（2）先化简不等式为，分离得，再利用导数求函数单调性，利用罗伯特法则求最大值，即得的取值范围.

    试题解析：（1）曲线在处的切线为，即

    由题意得，解得

    所以

    从而

    因为当时， ，当时， .

    所以在区间上是减函数，区间上是增函数，

    从而.

    （2）由题意知，当时， ，所以

    从而当时， ，

    由题意知，即，其中

    设，其中

    设，即，其中

    则，其中

    （1）当时，因为时， ，所以是增函数

    从而当时， ，

    所以是增函数，从而.

    故当时符合题意.

    （2）当时，因为时， ，

    所以在区间上是减函数

    从而当时，

    所以在上是减函数，从而

    故当时不符合题意.

    （3）当时，因为时， ，所以是减函数

    从而当时，

    所以是减函数，从而

    故当时不符合题意

    综上的取值范围是.

    【题型】解答题
    【结束】
    22

    【题目】在直角坐标坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线： .以为极点， 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系.

    （1）求曲线的极坐标方程；

    （2）射线（）与曲线的异于极点的交点为，与曲线的交点为，求.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】下列命题中，选项正确的是（ ）

    A. 在回归直线中，变量时，变量的值一定是15

    B. 两个变量相关性越强，则相关系数就越接近于1

    C. 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关

    D. 若某商品的销售量（件）与销售价格（元/件）存在线性回归方程为，当销售价格为10元时，销售量为100件左右

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（　　）

    A. 函数的图象关于点对称

    B. 函数的图象关于直线对称

    C. 函数的最小正周期为

    D. 当时，函数的图象与直线围成的封闭图形面积为

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，四棱锥中， ，且平面， 为棱的中点．

    (1)求证： ∥平面;

    (2)求证：平面平面;

    (3)当四面体的体积最大时，判断直线与直线是否垂直，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知，是的中点．

    （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；

    （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值；

    （3）若点是内一点，且，求的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】m为何值时，.

    (1)有且仅有一个零点；

    (2)有两个零点且均比－1大．

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