Question

【题目】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上．

（Ⅰ）求异面直线D1E与A1D所成的角；

（Ⅱ）若平面D1EC与平面ECD的夹角大小为45°，求点B到平面D1EC的距离．

Answer 1

【答案】Ⅰ 90°；Ⅱ .

【解析】试题分析：

(Ⅰ) 方法一：用几何法证明AB⊥平面AA1D1D可得结论；方法二：用坐标法证明即可得到结论．(Ⅱ) 在（Ⅰ）中坐标法的基础上可得平面CED1的一个法向量为，又为平面DEC的一个法向量，根据两平面所成角等于45°可得，然后根据线面角的定义可求得点到面的距离．

试题解析：

（Ⅰ）解法1：连结AD1．由从AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D，

∵AB⊥平面AA1D1D，

∴ AD1是D1E在平面AA1D1D内的射影．

根据三垂线定理得A1D⊥D1E，

∴ 异面直线D1E与A1D所成的角为90°．

解法2：如图，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则D（0,0,0），A1（1,0,1），D1（0,0,1），

∴，

设，则

∴，

∴ DA1⊥，

∴异面直线D1E与A1D所成的角为90°．

（Ⅱ）设为平面CED1的一个法向量，

由，可得，

令，可得．

由题意得为平面DEC的一个法向量．

∵平面D1EC与平面ECD的夹角大小为45°，

∴，

解得或（舍去）．

∴.

设CB和平面D1EC所成的角为，

又，

∴点B到平面D1EC的距离．

即点B到平面D1EC的距离为．