Question

在棱长为3的正四面体ABCD中，点E是线段AB上一点，且AE=1，点F是线段AD上一点，且AF=2，则异面直线DE与CF的夹角的余弦为

1

14

．

Answer 1

分析：在AB上取一点M，使AM=

1

3

，由于

AM

AE

=

AF

AD

=

1

3

，可得MF∥ED，则∠CFM或其补角，即为异面直线DE与CF的夹角．利用余弦定理求得CF²、MF²、CM² 的值，再在△CFM中，利用余弦定理求得cos∠CFM 得值，再取绝对值，即得所求．

解答：解：∵在棱长为3的正四面体ABCD中，点E是线段AB上一点，且AE=1，点F是线段AD上一点，且AF=2，
在AB上取一点M，使AM=

1

3

，如图所示：
由于

AM

AE

=

AF

AD

=

1

3

，∴MF∥ED，则∠CFM或其补角，即为异面直线DE与CF的夹角．
△CDF中，由余弦定理可得 CF²=9+4-2×3×2cos60°=7，△CAM中，由余弦定理可得 CM²=9+

1

9

-2×3×

1

3

×cos60°=

73

9

，
△AMF中，由余弦定理可得 MF²=

1

9

+1-2×

1

3

×1×cos60°=

7

9

．
在△CFM中，由余弦定理可得CM²=

73

9

=7+

7

9

-2×

7

×

7 9

×cos∠CFM，解得cos∠CFM=-

1

14

，
故异面直线DE与CF的夹角的余弦为

1

14

，
故答案为

1

14

．

点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，余弦定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．