Question

【题目】如图所示，在三棱柱中，平面是线段上的动点，是线段上的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，且直线所成角的余弦值为，试指出点在线段上的位置，并求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据棱柱为直棱柱可得平面平面BC，由D为BC中点，得AD垂直BC，由面面垂直的性质定理可得，从而得到证明；（Ⅱ）由直线所成角得，可得长度，从而看确定点E的位置，然后利用可求得所求体积.

（Ⅰ）因为，所以平面ABC.

而平面BC,所以平面平面BC.

因为线段的中点为，且是等腰三角形，所以

而平面ABC, 平面ABC平面BC=BC ,

所以.又因为，所以

（Ⅱ），则.，即.又，所以，故，所以是直角三角形.

在三棱柱中，，直线所成角的余弦为，

则在中，，，所以.

在中，，所以.因为，

所以点是线段的靠近点的三等分点.

因为

所以.