Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n≠0（n∈N^*），则下列等式成立的是（　　）

• A．S_n+S_2n=S_3n
• B．

  Sn

  S2n

  =

  S2n

  S3n

• C．

  Sn

  S2n-Sn

  =

  S2n-Sn

  S3n-Sn

• D．

  Sn

  S2n-Sn

  =

  S2n-Sn

  S3n-S2n

Answer 1

分析：设出等比数列的首项与公比，利用等比数列的前n项和公式表示出S_n，S_2n及S_3n，代入各选项中验证，即可得到正确的选项．

解答：解：设等比数列的首项为a，公比为q，
∵S_n=

a(1-qn)

1-q

，S_2n=

a(1-q2n)

1-q

，S_3n=

a(1-q3n)

1-q

，
显然A和B选项错误，
∴

Sn

S2n-Sn

=

a(1-qn) 1-q

a(1-q2n) 1-q - a(1-qn) 1-q

=

1

qn

，且

S2n-Sn

S3n-S2n

=

a(1-q2n) 1-q - a(1-qn) 1-q

a(1-q3n) 1-q - a(1-q2n) 1-q

=

1

qn

，
则

Sn

S2n-Sn

=

S2n-Sn

S3n-S2n

．
选项C错误，选项D正确，
则等式成立的选项为D．
故选D

点评：此题考查了等比数列的前n项和公式的运用，以及等比数列的性质，设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，当S_n≠0时，理解S_n，S_2n-S_n，及S_3n-S_2n成等比数列是解本题的关键．