Question

【题目】某企业要设计制造一批大小、规格相同的长方体封闭水箱，已知每个水箱的表面积为432（每个水箱的进出口所占面积与制作材料的厚度均忽略不计）．每个长方体水箱的底面长是宽的2倍．现设每个长方体水箱的底面宽是，用表示每个长方体水箱的容积．

（1）试求函数的解析式及其定义域；

（2）当为何值时，有最大值，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1），定义域为；（2）当时，有最大值，为576．

【解析】

（1）由题意得长方体的高 ，根据长方体的体积公式可得，然后根据实际情况得到定义域．（2）利用导数判断出函数的单调性，进而可得最值．

（1）依题意，每个长方体水箱的底面宽是，则长是，设其高为，

所以其表面积为，

解得 ，

所以，

由，解得，

所以函数的定义域为．

（2）由（1）知 ，

所以，

所以当时，，当时，．

从而在上单调递增，在上单调递减；

故当时，．