Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，直线PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=4BE=4．
（I）求证：直线DE⊥平面PAC．
（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 ，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA．又∵AB⊥AD，故可建立建立如图所示坐标系．由已知D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ），（λ＞0）， =（2，﹣1，0）， =（2，4，0）， =（0，0，λ），
=4﹣4+0=0， =0．
∴DE⊥AC，DE⊥AP，
∴ED⊥平面PAC．
（Ⅱ）由（Ⅰ），平面PAC的一个法向量是 ， =（2，1，λ）．
设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
∴sinθ=|cos |= = ，
解得λ=±2，∵λ＞0，∴λ=2，即P（0，0，2）．
设平面PCD的一个法向量为 =（x，y，z）， =（2，2，0）， =（0，﹣2，﹣2），
∴ ，∴ ，取 =（1，﹣1，﹣1）．
∴cos = = ，
显然二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，可得AB⊥PA．又AB⊥AD，可建立建立如图所示坐标系．利用向量垂直与数量积的关系、线面垂直的判定定理即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ），平面PAC的一个法向量是 ， =（2，1，λ）．设直线PE与平面PAC所成的角为θ，可得sinθ=|cos |= ，解得λ．设平面PCD的一个法向量为 =（x，y，z）， ，可得cos = ．