Question

已知数列{a_n}中，a₁=，a₂=且当n≥2，n∈N时，3a _n+1=4a-a _n-1
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记 ai=a₁•a₂•a₃…a_n，n∈N^*
（1）求极限 （2-2 _i-1）
（2）对一切正整数n，若不等式λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）因为数列{a_n}不是特殊的数列，所以可用构造法，构造一个新数列，使其具有一定的规律．通过观察，可以发现，3（a _n+1-a _n）=a _n-a _n-1则新数列为等比数列，求出新数列的通项公式，再根据新数列的通项公式叠加求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）① （2-a _i-1）=（1+）（1+）（1+）…（1+）=，再对分子进行化简即可得出答案；
②λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立?λ（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1．下面利用数学归纳法证明（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1-，从而得出λ的最小值．
解答：解：（I）a₁=，a₂=且当n≥2，n∈N时，3a _n+1=4a-a _n-1
∴3（a _n+1-a _n）=a _n-a _n-1
∴a_n-a _n-1=（a _n-1-a _n-2）=（a _n-2-a _n-3）=…=（a ₂-a ₁）=，
叠加，得a_n-a₁=2（++…+）
故所求的通项公式为a_n=1-，（n∈N^*）
（Ⅱ）① （2-a _i-1）=（1+）（1+）（1+）…（1+）
===．
②λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立?λ（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1

下面证明（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1-

（i）当n=1时，不等式成立；
当n=2时，左边=（1-）（1-）=
右边=1-（+）=
左边＞右边，不等式成立．
（ii）假设当n=k时，（1-）（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）
成立．
则当n=k+1时，，（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）
≥[1-（++…+）（1-）=（+）（1-）＞+
又1-（++…++）=1-=+
∴当n=k+1时，不等式也成立．
综上（i）、（ii）可知，（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1-成立．
对一切正整数n，不等式λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立
?1-恒成立
（1-）=[+（）ⁿ]=
∴1-＞
故只需≥，∴λ≥2
而λ∈N^*．
∴λ的最小值为2．
点评：本小题主要考查数列递推式、数列的函数特性、数列的极限、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．