Question

【题目】．已知函数

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的极值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）把代入原函数解析式中，求出函数在时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当时， ，函数在定义域， 上单调递增，函数无极值，当时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值.

试题解析：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．

（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即

（2）由，x＞0知：

①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；

②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a，又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值，综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数求函数的极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.