Question

【题目】已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，若的面积为，求直线l与y轴交点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出的值，代入椭圆方程即可.（2）设出直线的方程将直线方程与椭圆方程联立，消去得到关于的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线的斜率用坐标表示据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出的值，利用判别式大于 得到的范围，将面积表示出来，得到的等式，解出，即可得到直线l与y轴交点的坐标.

（1）设椭圆方程为：，

椭圆的离心率为，过点，

，解得，

椭圆的方程为：.

（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，

设直线的方程为：，

，消得，，

且，

，

直线的斜率依次成等比数列，

，，

又，，即，

直线的斜率存在，且，得且.

设为点到直线的距离，

或，

直线与轴交点的坐标为：.