【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：
的焦点为F，过F的直线
交抛物线C于A，B两点．
（1）求线段AF的中点M的轨迹方程；
（2）已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线的方程．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）设线段AF的中点的坐标为
，
，即可求得
，将它们代入
即可得解。
（2）设
，由△AOB的面积是△BOF面积的3倍可得：直线
的斜率存在，且
的面积是
面积的2倍，即可整理得：
，设直线的方程为：
，联立直线方程与抛物线方程可得：
，
，结合即可求得：
，问题得解。
（1）设线段AF的中点的坐标为，
由抛物线
的方程可得：焦点
由中点坐标公式可得：
即：
又在抛物线上，所以
，
将代入上式可得：
整理得：
所以线段AF的中点M的轨迹方程为：
（2）依据题意作出图形，如下：
设，且
与
的取值一正、一负
因为△AOB的面积是△BOF面积的3倍，所以直线的斜率存在，
且的面积是面积的2倍，
即：
，整理得：
设直线的方程为：
联立直线与抛物线方程可得：
，整理得：
.
所以，
由
解得：.
所以直线的方程为：
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【题目】如图所示的矩形ABCD中，AB=
AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．
(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；
(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．
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【题目】已知椭圆
的离心率
，其左、右顶点分别为点
，且点
关于直线
对称的点在直线
上.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若点
在椭圆上，点
在圆
上，且
都在第一象限，
轴，若直线
与
轴的交点分别为
，判断
是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
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【题目】在直角坐标系平面
上的一列点
，
，…，
，记为
，若由
构成的数列
满足
，
，其中
为与
轴正方向相同的单位向量，则称为
点列.
（1）判断
，
，
，…，
，是否为点列，并说明理由；
（2）若为点列.且点
在点
的右上方，（即
）任取其中连续三点
，
，
判断
的形状（锐角三角形，直角三角形，钝角三角形），并给予证明；
（3）若为点列，正整数
，满足
.求证：
.
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【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1(﹣2，0)，A2(2，0)，右准线方程为x＝4．过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D．直线A2D与椭圆C的另一交点为G，直线OG与直线A1D交于点H．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若HG⊥A1D，试求直线A1D的方程；
（3）如果
，试求
的取值范围．
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【题目】一个盒子里有大小相同的3个红球和3个黑球，从盒子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分.
（Ⅰ）若从盒子里一次随机取出了3个球，求得2分的概率;
（Ⅱ）着从盒子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的概率分布列及期望.
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【题目】在如图所示的几何体中，四边形
为正方形，
平面，
，
，
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱
上是否存在一点
，使得平面
平面？如果存在，求
的值；如果不存在，说明理由．
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