Question

【题目】如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，.

（1）证明：平面平面；

（2）若点为中点，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先证明出，可得出，可得出，然后取的中点，连接、，并设，利用勾股定理证明出，由等腰三角形三线合一得出，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面，再利用平面与平面垂直的判定定理可得出平面平面；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，计算出平面和的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案.

（1）是等边三角形，，又，，

，，为直角三角形，所以，

取的中点，连接、，则，.

设，则，又，

，，又，平面，

平面，因此，平面平面；

（2）由题设及（1）可知、、两两垂直，以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、，为的中点，则，

，，.

设平面的一个法向量为，由，得，

得，令，则，，

所以，平面的一个法向量为.

同理可得，平面的一个法向量为，

，

所以，二面角的正弦值为.