Question

将如图所示的三角形数阵中的数按从小到大的顺序排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，记为数列{a_n}，记数列{a_n}前2k²（k∈N₊）项的和为b_k，可以推测：
（Ⅰ）b₃=

73

； 
（Ⅱ）b_k=

1

6

（2k-1）•2k•（4k-1）+2k²

．（用k表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件及图可得出b₃=S 2×32=S₁₈，由此可列举出三角形数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6．从而可得结论；
（II）由于b_k=S 2k2，表示数列{a_n}的前2k²项和．由如图所示的三角形数阵知，它的前2k-1行一共有1+2+3+…+（2k-1）=k（2k-1）项，第2k行的数正好是2k个数2k，由此可得结论．

解答：解：（I）由题设条件可以得出，
b₃=S 2×32=S₁₈=1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5+5+6+6+6=1+2×2+3×3+4×4+5×5+6×3=73；
（II）由如图所示的三角形数阵知，它的前2k-1行一共有1+2+3+…+（2k-1）=k（2k-1）项，第2k行的数正好是2k个数2k，
故b_k=S 2k2
=1+2+2+3+3+3+4+…+（2k-1）+（2k-1）+…+（2k-1）+2k+2k+…+2k（其中2k共有k项）
=1+2²+3²+…+（2k-1）²+2k×k
=

1

6

（2k-1）•2k•（4k-1）+2k²
故答案为：73；

1

6

（2k-1）•2k•（4k-1）+2k²．

点评：本题考查数列的递推关系，数列的表示及归纳推理，解题的关键是由题设得出b_k表示数列{a_n}的前2k²项和，由此利用特殊数列的求和公式求解．