Question

【题目】设函数，（）.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a、m的值；

（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围；

（3）关于x的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）不能，证明见解析

【解析】

（1）求出，结合导数的几何意义即可求解；

（2）构造，则原题等价于对任意恒成立，即时，，利用导数求最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由求出的范围，再研究该范围下单调性；

（3）构造并进行求导，研究单调性，结合函数零点存在性定理证明即可.

（1），

，

曲线在点处的切线方程为，

，

解得.

（2）记，

整理得，

由题知，对任意恒成立，

对任意恒成立，即时，，

，解得，

当时，

对任意，，，

，

，即在单调递增，此时，

实数的取值范围为.

（3）关于的方程不可能有三个不同的实根，以下给出证明：

记，，

则关于的方程有三个不同的实根，等价于函数有三个零点，

，

当时，，

记，则，

在单调递增，

，即，

，

在单调递增，至多有一个零点；

当时，

记，

则，

在单调递增，即在单调递增，

至多有一个零点，则至多有两个单调区间，至多有两个零点.

因此，不可能有三个零点.

关于的方程不可能有三个不同的实根.