Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆短轴端点，若为直角三角形且周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，直线,斜率的乘积为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据的形状以及周长，计算出的值，从而椭圆的方程可求；

（2）分类讨论直线的斜率是否存在：若不存在，直接分析计算即可；若存在，联立直线与椭圆方程，得到坐标对应的韦达定理形式，再根据条件将直线方程中的参数关系找到，由此即可化简计算出的取值范围.

（1）因为为直角三角形，所以，，

又周长为，所以，故，，，

所以椭圆：.

（2）设，，当直线斜率不存在时，

,，，所以，

又，解得，，.

当直线斜率存在时，设直线方程为，

由得，

得

即，

，

由得，即，

所以

所以.