Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在处切线的斜率为，判断函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】

（1）对求导，根据导数的几何意义代入，可求得切线的斜率，进而可得a的值；分别判断当、时，的正负，即可判断的单调性；

（2）当时，由得或，分别求出、和时，的单调性，并求出极值个数；当时，由得，判断的单调性，可得，又时，，时，，综合分析，即可得答案.

（1）由题，

则，得，

此时，由得.

则时，，为增函数；时，，为增函数，且，所以为R上的增函数.

（2）①当时，由得或，

若，由（1）知，为R上的增函数.

由，，

所以只有一个零点，不符合题意.

若，则时，，为增函数；时，，为减函数；时，，为增函数.

而，故最多只有一个零点，不符合题意.

若时，则时，，为增函数；时，，为减函数；时，，为增函数.

得，故最多只有一个零点，不符合题意.

②当时，由得，

由得，为减函数，由得，为增函数，

则.又,

，

所以当时，始终有两个零点.

综上所述，a的取值范围是