Question

【题目】已知椭圆的左，右两个焦点为、，抛物线与椭圆有公共焦点.且两曲线、在第一象限的交点的横坐标为.

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）直线与抛物线的交点为、（为坐标原点），与椭圆的交点为、（在线段上），且.问满足条件的直线有几条，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）满足条件的直线有条，理由见解析.

【解析】

（1）由椭圆和抛物线的公共焦点可求得抛物线的标准方程，再由点在抛物线上可求得点的坐标，利用椭圆的定义可求得的值，进而求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）将直线的方程分别与椭圆、抛物线的方程联立，分别求得点、、、的横坐标，由可知点为线段的中点，利用中点坐标公式可得出关于的等式，

（1）由于椭圆和抛物线的公共焦点为，故椭圆的焦点坐标为.

所以，所以抛物线的方程，

由点在抛物线上，所以，

又点又在椭圆上，所以，

所以，又，故，

从而椭圆的方程为；

（2）联立直线与椭圆方程得，得，

解得，.

联立直线与抛物线得，得，解得，，

由，故为线段的中点，

即，得，

化简得，解得（负值含去），

故满足题意的值有个，从而存在过原点的有两条直线满足题意.