Question

【题目】已知多面体如图所示，底面为矩形，其中平面， ．若， ， 分别是， ， 的中点，其中．

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求的长．

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】试题分析：

(1)利用题意证得平面，然后利用线面垂直的性质和直线平行的结论可得．

(2)建立空间直角坐标系，由平面向量的法向量和二面角的余弦值可求得的长为.

试题解析：

（Ⅰ）证明：取的中点，连接， ，

因为是正方形，所以 ， ；

因为分别是, 的中点，所以 , ；

又因为 且，所以 ， ，

所以四边形是平行四边形, 所以 .

因为 平面，

又故，故．

（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA，DC，DS分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系；设（），则．

因为⊥底面，所以平面的一个法向量为.

设平面SRB的一个法向量为，

， ，则 即

令x=1，得，所以，

由已知，二面角的余弦值为，

所以得 ，解得a =2，所以SD=2．