Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）探究函数的单调性；

（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)对函数求导有，分类讨论：若， 在上单调递增；若， 在上单调递减，在上单调递增.

(Ⅱ)原问题即在上恒成立.构造函数：令，则，考查分子部分，令 ，则是上的增函数.据此分类讨论：①当时， 成立.②当时， 不可能恒成立.综合上述，实数的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）依题意， ，函数，

若， ，函数在上单调递增；

若，当时， ，当时， ，

函数在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）依题意， ，即在上恒成立.

令，则 ，

令 ，则是上的增函数，即.

①当时， ，所以，因此是上的增函数，

则，因此时， 成立.

②当时，令，得，

求得，（由于，所以舍去）

当时， ，则在上递减，

当时， ，则在上递增，

所以当时， ，

因此时， 不可能恒成立.

综合上述，实数的取值范围是.